RESUME BAHAN AJAR STAT MAT 1 PERTEMUAN KE-5
C. DISTRIBUSI PELUANG KONTINUE
Peubah acak diskrit tidak cukup untuk model peluang lain, untuk itu dikembangkan peubah acak continue.
Definisi 1.4
JIka himpunan semua nilai yang mungkin dari suatu peubah acak X merupakan interval bilangan real (a,b), (a,b], [a,b), [a,b], (-∞,b], [a,+∞), (-∞,+∞), maka x adalah peubah acak continue.
Suatu fungsi f(x) yang didefinisikan pada selang nilai peubah acak X yang continue disebut fungsi padat peluang continue (fdp continue)
Fungsi yang menhubungkan semua nilai x yang continue ke f(x) continue dinamakan fungsi distribusi continue.
F(x) =
Karena F(x) = P[X ≤ x] = , maka peubah acak continue berpeluang nol untuk
mengambil tepat satu nilainya.
P[X = x] = P[X ≤ x] – P[X < x]
= = 0
X adalah peubah acak continue
P(a < x ≤b) = P(a < x < b) + P (x = b)
= P(a < x < b) + 0
= P(a < x < b)
P(a ≤ x ≤b) = P(a < x < b) + P (x = a) + P (x = b)
= P(a < x < b) + 0 + 0
= P(a < x < b)
Sehingga tidak ada bedanya selang interval terbuka dan tertutup, nilainya tetap sama.
Fdp jika dinyatakan dalam grafik continue
f(x) f(x)
f(x) f(x)
peluang continue adalah luas daerah arsiran kurva . Atau dengan kata lain nilai luas daerah digunakan untuk menyatakan peluang nilai X pada selang tertentu.
luas daerah yang diarsir pada kurva disamping menyatakan P(a < x < b)
a b
Contoh latihan:
- Suatu peubah acak x didefinisikan dengan fungsi f(x) = , untuk 0 < x < 2, tunjukkan bahwa :
- P( 0 < x < 2) = 1
- Hitung P( x < 1,5)
- P (0,5 < x < 1,5) =
Teorema :
F(x) merupakan fdp continue jika dan hanya jika f(x) ≥ 0 untuk semua x R. = 1
P(a<x<b) = P(a≤x<b) = P(a<x≤b) = P(a≤x≤b)
= = F(b) – F(a)
D. Harapan Matematis / Ekspektasi Matematis / E(X)
Definisi 1. 5
Jika X peubah acak diskrit dengan fdp f(x), maka nilai harapan X,
Jika X peubah acak continue dengan fdp continue (fx), maka nilai harapan X
Jika banyaknya berhingga sampai n ( diskrit)
E(x) = x1f(x1) + x2f(x2) + x3f(x3) + x4f(x4) + …. .+ xnf(xn)
Jika jumlahnya sampai tak hingga, maka
Akan terdefinisi jika deret tersebut konvergen.
Contoh :
- Tiga buah massa masing-masing 0,25; 0,5; 0,25 diletakkan berturut turut pada x = 2, 4, 8. Dimana letak keseimbangan dari system tersebut.
Teorema :
X peubah acak diskrit dengan fdp f(x) dan g(x) adalah fungsi peubah acak x;
Untuk X peubah kontinue
Contoh :
- Suatu peubah acak x adalah banyak jumlah motor yang diservis pada pukul 08.00 – 16.00 dengan distribusi peluang sebagai berikut :
x | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
f(x) |
|
|
|
|
|
|
Suatu fungsi g(x) = 2x + 1 menyatakan upah yang dibayarkan kepada teknisi service. Berapakah pendapatan yang diterima teknisi tersebut.
E. Rataan dan variasi peubah acak
Andaikan F(x)nya seragam yaitu f(xi) = P[X = xi] = , untuk I = 1, 2, 3, 4, … n; maka
Sehingga μ = E(x)
Definisi 1.6
JIka x peubah acak diskrit dengan fdp f(x) maka rata-rata x di definisikan
Jika x peubah acak continue dengan fdp f(x) maka rata-rata x
Contoh :
Dua koin dilantunkan 8x. JIka x adalah muncul G setiap pelantunan maka X peubah dengan x = 0, 1, 2. Tentukan rata-rata x.
Jawab :
?
Kita bias menghitung rata-rata populasi jika diketahui x (aturannya) tanpa melihat banyaknya pengamatan / observasinya.
μ = E(X) = 0. (1/4) + 1(1/2) + 2 (1/4) = 1
" Apabila populasi dibangkitkan oleh suatu percobaan yang disetiap ujicoba mempunyai nilai peluang yang tetap bagi masing-masing nilai peubah acak yang sedang kita minati maka rataan populasi ini sama dengan nilai harapan peubah acak itu"
Contoh :
- Dua buah dadu dilantunkan bersama-sama. Suatu peubah acak Y adalah jumlah noktah dari 2 dadu tersebut. Tentukan rataan peubah acak.
- HItunglah banyak rataan wanita yang bias meduduki jabatan presiden dan wakil presiden yang dipilih acak dari 3 kandiddat pria dan 2 kandidiat wanita. Didefinisikan peubah acak x menyatakan banyak wanita.
Varian peubah acak
Definisi
Misal peubah acak X mempunyai fungsi padat peluang f(x), dan rataan μ = E(x); maka
Untuk peubah acak diskrit
Untuk peubah acak continue
Contoh :
Diketahui distribusi peluang sebagai berikut :
x | 0 | 1 | 2 | 3 |
f(x) |
|
|
|
|
Tentukan Var(x)
Jawab :
?
Teorema :
Misalkan peubah acak X mempunyai fungsi padat peluang f(x) dan g(x) adalah suatu fungsi dari peubah acak x, maka rata-rata peubah acak g(x)
μg(x) = E(g(x))
σ2g(x) = E[(g(x) – μg(x))2]
Jika peubah acak diskrit
dan variannya
JIka peubah acak kontinue
dan variannya
Contoh :
Misalkan X peubah acak kontinue dengan fdp f(x) = 1 untuk 0 < x < 1, dan f(x) = 0 untuk nilai x yang lain. g(x) = 2x – 1, hitunglah varian dan rataannya.
Jawab :
?
Teorema 1.6
Jika a, b suatu konstanta dan X suatu peubah acak dengan rata-rata μ, maka rata-rata peubah acak aX + b adalah
μax +b = aμ + b
Buktikan teorema itu.
diposting oleh ANDIK SAFANI'S BLOG pada
18.59
