RESUME BAHAN AJAR STAT MAT 1 PERTEMUAN KE-5

C. DISTRIBUSI PELUANG KONTINUE

Peubah acak diskrit tidak cukup untuk model peluang lain, untuk itu dikembangkan peubah acak continue.

Definisi 1.4

JIka himpunan semua nilai yang mungkin dari suatu peubah acak X merupakan interval bilangan real (a,b), (a,b], [a,b), [a,b], (-∞,b], [a,+∞), (-∞,+∞), maka x adalah peubah acak continue.

Suatu fungsi f(x) yang didefinisikan pada selang nilai peubah acak X yang continue disebut fungsi padat peluang continue (fdp continue)

Fungsi yang menhubungkan semua nilai x yang continue ke f(x) continue dinamakan fungsi distribusi continue.

F(x) =

Karena F(x) = P[X ≤ x] = , maka peubah acak continue berpeluang nol untuk
mengambil tepat satu nilainya.

P[X = x] = P[X ≤ x] – P[X < x]

= = 0

 

X adalah peubah acak continue

P(a < x ≤b) = P(a < x < b) + P (x = b)

= P(a < x < b) + 0

= P(a < x < b)

 

P(a ≤ x ≤b) = P(a < x < b) + P (x = a) + P (x = b)

= P(a < x < b) + 0 + 0

= P(a < x < b)

 

Sehingga tidak ada bedanya selang interval terbuka dan tertutup, nilainya tetap sama.

Fdp jika dinyatakan dalam grafik continue

 

f(x)     f(x)     

 

 

f(x)    f(x)

 

 

 

peluang continue adalah luas daerah arsiran kurva . Atau dengan kata lain nilai luas daerah digunakan untuk menyatakan peluang nilai X pada selang tertentu.

luas daerah yang diarsir pada kurva disamping menyatakan P(a < x < b)

a b

 

Contoh latihan:

1. Suatu peubah acak x didefinisikan dengan fungsi f(x) = , untuk 0 < x < 2, tunjukkan bahwa :
   
   1. P( 0 < x < 2) = 1
      
   2. Hitung P( x < 1,5)
      
   3. P (0,5 < x < 1,5) =
      

 

Teorema :

F(x) merupakan fdp continue jika dan hanya jika f(x) ≥ 0 untuk semua x R. = 1

 

P(a<x<b) = P(a≤x<b) = P(a<x≤b) = P(a≤x≤b)

= = F(b) – F(a)

 

D. Harapan Matematis / Ekspektasi Matematis / E(X)

 

Definisi 1. 5

Jika X peubah acak diskrit dengan fdp f(x), maka nilai harapan X,

 

Jika X peubah acak continue dengan fdp continue (fx), maka nilai harapan X

 

Jika banyaknya berhingga sampai n ( diskrit)

E(x) = x₁f(x₁) + x₂f(x₂) + x₃f(x₃) + x₄f(x₄) + …. .+ x_nf(x_n)

 

Jika jumlahnya sampai tak hingga, maka

 

Akan terdefinisi jika deret tersebut konvergen.

Contoh :

1. Tiga buah massa masing-masing 0,25; 0,5; 0,25 diletakkan berturut turut pada x = 2, 4, 8. Dimana letak keseimbangan dari system tersebut.
   

Teorema :

X peubah acak diskrit dengan fdp f(x) dan g(x) adalah fungsi peubah acak x;

 

Untuk X peubah kontinue

 

Contoh :

1. Suatu peubah acak x adalah banyak jumlah motor yang diservis pada pukul 08.00 – 16.00 dengan distribusi peluang sebagai berikut :
   

x	4	5	6	7	8	9
f(x)

Suatu fungsi g(x) = 2x + 1 menyatakan upah yang dibayarkan kepada teknisi service. Berapakah pendapatan yang diterima teknisi tersebut.

E. Rataan dan variasi peubah acak

Andaikan F(x)nya seragam yaitu f(xi) = P[X = xi] = , untuk I = 1, 2, 3, 4, … n; maka

 

Sehingga μ = E(x)

 

Definisi 1.6

JIka x peubah acak diskrit dengan fdp f(x) maka rata-rata x di definisikan

 

 

Jika x peubah acak continue dengan fdp f(x) maka rata-rata x

 

 

Contoh :

Dua koin dilantunkan 8x. JIka x adalah muncul G setiap pelantunan maka X peubah dengan x = 0, 1, 2. Tentukan rata-rata x.

Jawab :

?

Kita bias menghitung rata-rata populasi jika diketahui x (aturannya) tanpa melihat banyaknya pengamatan / observasinya.

μ = E(X) = 0. (1/4) + 1(1/2) + 2 (1/4) = 1

 

" Apabila populasi dibangkitkan oleh suatu percobaan yang disetiap ujicoba mempunyai nilai peluang yang tetap bagi masing-masing nilai peubah acak yang sedang kita minati maka rataan populasi ini sama dengan nilai harapan peubah acak itu"

 

Contoh :

1. Dua buah dadu dilantunkan bersama-sama. Suatu peubah acak Y adalah jumlah noktah dari 2 dadu tersebut. Tentukan rataan peubah acak.
   
2. HItunglah banyak rataan wanita yang bias meduduki jabatan presiden dan wakil presiden yang dipilih acak dari 3 kandiddat pria dan 2 kandidiat wanita. Didefinisikan peubah acak x menyatakan banyak wanita.
   

 

Varian peubah acak

Definisi

Misal peubah acak X mempunyai fungsi padat peluang f(x), dan rataan μ = E(x); maka

 

Untuk peubah acak diskrit

 

Untuk peubah acak continue

 

Contoh :

Diketahui distribusi peluang sebagai berikut :

x	0	1	2	3
f(x)

Tentukan Var(x)

Jawab :

?

Teorema :

Misalkan peubah acak X mempunyai fungsi padat peluang f(x) dan g(x) adalah suatu fungsi dari peubah acak x, maka rata-rata peubah acak g(x)

μg(x) = E(g(x))

σ²g(x) = E[(g(x) – μg(x))²]

Jika peubah acak diskrit

 

dan variannya

 

 

JIka peubah acak kontinue

 

dan variannya

 

Contoh :

Misalkan X peubah acak kontinue dengan fdp f(x) = 1 untuk 0 < x < 1, dan f(x) = 0 untuk nilai x yang lain. g(x) = 2x – 1, hitunglah varian dan rataannya.

Jawab :

?

Teorema 1.6

Jika a, b suatu konstanta dan X suatu peubah acak dengan rata-rata μ, maka rata-rata peubah acak aX + b adalah

μ_{ax +b} = aμ + b

Buktikan teorema itu.